从最近邻费米子作用量到基本 Grassmann 张量：统一符号推
                                         导流程

                             GrassmannSymbolics 项目笔记

                                    2026 年 7 月 6 日


                                               摘要

        本文整理 Ref/ 中各类费米子模型所使用的 Grassmann 张量网络构造，目标是把文献中
      的手工推导转化为可验证的符号算法。共同核心是：把每个最近邻 hopping 矩阵分解成有限
      个秩一通道；在每条有向键上引入成对辅助 Grassmann 变量；随后逐格点积掉原始费米子变
      量。由此得到的局域多项式就是基本 Grassmann 张量，其辅助变量构成张量腿，其多项式系
      数构成普通系数张量。


                                 1 问题与适用范围
      考虑 d 维超立方格点上的 N 分量费米子。二次型最近邻作用量统一写成
                        ∑
                 S2 =       ψ̄(n)(Dψ)(n),                                                        (1)
                        n
                                       ∑
                                       d                            ∑
                                                                    d
          Dab (n, m) = Wab (n)δn,m +         (Xµ )ab (n)δn+µ̂,m +         (Yµ )ab (n)δn−µ̂,m .   (2)
                                       µ=1                          µ=1

允许再加入任意局域偶 Grassmann 多项式 Sint (n)，例如四费米相互作用。规范场可作为 Xµ , Yµ
的玻色系数保留，待费米子积分后再离散化或积分。有限温哈密顿量问题先用相干态和 Trotter
分解化为这一形式。


                                     2 普适推导

2.1   逐键秩一分解

      对每个有向 hopping 矩阵作奇异值分解

                                      X †
                        Xµ = UµX ΣX
                                  µ (Vµ ) ,          Yµ = UµY ΣYµ (VµY )† .                      (3)

只保留非零奇异值，故一条键所需辅助分量数分别是 Kµ = rank Xµ 和 Lµ = rank Yµ 。符号矩阵不
                                                     ∑
一定适合直接做 SVD；程序接口因此也应允许用户直接给出任意精确秩一分解 X = c uc sc vc† 。




                                                 1
3   可执行算法                                                                                                          2


2.2   辅助 Grassmann 恒等式

      单通道使用恒等式                                        ∫
                                         −sχ̄χ
                                     e           =        dη̄ dη e−η̄η−χ̄η+sη̄χ .                                 (4)

对 Xµ 与 Yµ 分别引入 ηµ,c 与 ζµ,c 。在格点 n 收集所有含原始场 ψ(n), ψ̄(n) 的因子后，局域基本
张量为
                   ∫ ∏
                     N
            Tn =           dψa (n)dψ̄a (n) e−ψ̄W ψ−Sint (n)
                     a=1
                           [                                                                                 ]
                         ∑{ (     )                               ( X † )}
                   × exp   − ψ̄Uµ c ηµ,c (n) + sµ,c η̄µ,c (n − µ̂) (Vµ ) ψ c
                                X               X
                                                                                                                  (5)
                               µ,c
                           [                                                                         ]
                               ∑ {(            )                                     (          )}
                   × exp                 ψ̄UµY
                                                    ζ̄ (n
                                                   c µ,c
                                                             − µ̂) + sYµ,c ζµ,c (n) (VµY )† ψ   c
                                                                                                         .        (6)
                               µ,c

所有指数都因幂零性而有限截断，所以这一步完全适合精确符号计算。
      定义有序多分量腿
                               Ψµ = (ηµ,1 , . . . , ηµ,Kµ , ζµ,1 , . . . , ζµ,Lµ ),                               (7)

并把共轭腿按逆序排列
                               Ψ̄µ = (ζ̄µ,Lµ , . . . , ζ̄µ,1 , η̄µ,Kµ , . . . , η̄µ,1 ).                          (8)

逆序是避免收缩时产生额外符号的约定，不是可忽略的排版选择。最终
                                           ∏
                           Z = gTr               TΨ1 (n)···Ψd (n)Ψ̄d (n−d)···
                                                                        ˆ Ψ̄1 (n−1̂) .                            (9)
                                            n


2.3   从 Grassmann 多项式到系数张量

      将每个辅助变量的占据数记为 i ∈ {0, 1}。按固定腿序展开
                                                           ∑
                                                   T =           T i Gi ,                                        (10)
                                                             i

其中 Gi 是对应的规范序 Grassmann 单项式，Ti 是普通复数或符号系数。偶作用量给出严格的
总奇偶选择规则
                                                            ∑
                               Ti = 0            if              ik = 1     (mod 2).                             (11)
                                                             k

程序必须同时保存变量顺序、积分测度顺序和腿顺序；只比较打印后的多项式不足以判定两个张
量相同。


                                             3 可执行算法
      给定模型后按以下顺序执行：

    1. 固定配分函数号约定、格点方向、边界条件、原始场顺序和 Berezin 测度顺序。

    2. 把作用量规范化为局域项 W + Sint 及有向最近邻项 Xµ , Yµ 。
4   第一基准：自由 WILSON 与 STAGGERED 费米子                                                                3


    3. 对每个 hopping 矩阵求数值 SVD，或读取用户给出的精确秩一分解；删除零通道。

    4. 为每个通道生成唯一辅助 Grassmann 对，并记录其所属方向、朝向和张量腿位置。

    5. 构造上述局域指数，有限展开，按文献指定测度积掉原始场。

    6. 规范序所有剩余单项式并化简系数，得到 T 和稀疏系数张量 Ti 。

    7. 做三类验证：总 Grassmann 偶性；逐系数文献对照；小尺寸格点上与直接费米子积分或行
       列式对照。


               4 第一基准：自由 Wilson 与 staggered 费米子
      二维 Wilson 情形采用 r = 1，W = (M + 2)I。文献附录 B 将两个方向的 hopping 写成
                             (              )               (             )
                        1        −1 −1                          −1   0
                  Ux = √                        ,    Ut =                     ,   Vµ† = −Uµ .   (12)
                         2       −1     1                       0    −1

每个方向的前、后向矩阵各只有一个非零通道，因此 Ψµ = (ηµ , ζµ )、Ψ̄µ = (ζ̄µ , η̄µ )。实现文件为
examples/Free_Wilson_and_Staggered.jl。它直接从局域指数做符号积分，并把结果逐系数与
式 (B.4) 对照。
      二维 staggered 情形只有一个原始分量，
                             [                                            ]
                     ∑          ∑           χ(n + µ̂) − χ(n − µ̂)
                  S=   χ̄(n)         pµ (n)                       + M χ(n) ,                    (13)
                     n         µ=x,t
                                                      2

其中 px = 1、pt = (−1)nx 。单格点积分最多留下二次辅助场项，代码结果逐系数对照式 (B.6)，并
显式保留 pt ，因此同时覆盖偶、奇 nx 两类张量。


4.1    附录公式的一致性审计

      为避免把排版公式无条件当成真值，程序同时保存两份对象：由作用量和式 (3.10) 直接积分
得到的 tensor，以及逐字转录附录公式的 published_tensor。两者只有在每个 Grassmann 单
项式的系数均相等时才算通过文献复现。
      对单分量 staggered 场，任意合法的局域指数都可写为

                                                −M χ̄χ + χ̄A + Bχ,                              (14)

其中 A, B 是辅助变量的 Grassmann 奇线性组合。因此
                   ∫
                     dχdχ̄ e−M χ̄χ+χ̄A+Bχ = −M + AB,                                            (15)

其双线性系数矩阵必为秩一。对 arXiv v2 原始 TeX 中的式 (B.6)，选取行 (ηx , ζ̄t ) 和列 (η̄x , η̄t )
得到子式                                        (               )
                                                −1/2 −1/2
                                      det                       = 1/2 ̸= 0.                     (16)
                                                +1/2 −1/2
5   模型差异与实施顺序                                                               4


这与上述秩一必要条件冲突。按式 (3.10) 的直接符号积分，目前有六个双线性项与印刷式 (B.6)
相差符号；其余十项、常数项和 Grassmann 偶性一致。故在完成小格点闭合网络和作者实现的独
立交叉验证前，本项目将该比较标记为“已发现、未掩盖的 broken check”，不把它误报为通过，
也不擅自宣称论文勘误。
     Wilson 的式 (B.4) 也保留同样的双轨审计。其前向矩阵 Xµ 对应组合分解中 δ(n + µ̂, m) 的
第二通道，后向矩阵 Yµ 对应 δ(n − µ̂, m) 的第一通道；辅助 SVD 相位仍需通过作者代码或闭合
配分函数确定，不能仅凭若干展开项反推。


                                5 模型差异与实施顺序

    模型                          在统一流程上的新增结构

    Free Wilson and Staggered   二分量 Wilson hopping 的秩一通道；staggered 相位；作为
                                符号和腿序基准。
    Simple quadratic model      最小单分量示例，用于验证逐键展开、收缩测度及小格点精
                                确配分函数。
    Single Flavor Gross-Neveu   Wilson 二分量场、化学势及局域四费米项；需匹配文献的镜
    Wilson                      像/测度约定。
    Schwinger model with θ      hopping 中含 U (1) 链变量，另有 plaquette 玻色张量和拓扑
    term                        项；先积费米子，再处理规范积分。
    two-color QCD               SU (2) 颜色双分量辅助场、Haar 积分及规范 plaquette 张量；
                                需验证颜色和腿压缩前的基本张量。
    NJL                         staggered 费米子与局域多费米相互作用；局域 Boltzmann
                                因子需精确有限展开。
    1D Hubbard                  自旋上下两分量、空间双 hopping 通道、时间离散与 U n↑ n↓
                                局域项；最终与附录的一般 d + 1 维式对应。


                       6 面向最终自动化接口的设计约束
     最终编译器不应只接收一个已展开多项式，而应接收结构化作用量：场、格点方向、局域项、
有向 hopping 项、玻色系数和边界条件。输出至少包含：基本 Grassmann 张量、腿元数据、稀疏
系数张量、键收缩测度以及从输入项到辅助通道的可追踪映射。符号 SVD 不稳定时，精确秩一
分解必须是一等输入；这对含参数、规范链变量和文献特定规范的模型尤其重要。


                                7 符号与一致性检查清单
               ∫
    • 明确 Z =       e−S ，不要在 hopping 分解时重复改变符号。

    • 文献的 dψ dψ̄ 顺序和程序实际右作用顺序必须一致。

    • 共轭多分量腿必须按指定逆序；改变腿序时需同步计算置换符号。
7   符号与一致性检查清单                                    5


    • 辅助场的重标度具有规范自由度；与文献比较时必须采用同一重标度，而不只比较收缩后的
     Z。

    • 符号比较应逐单项式化简系数，不能依赖字符串相等。

    • 每个基本张量在偶作用量下必须为 Grassmann 偶；小格点闭合网络必须恢复直接积分结果。
